题目内容
【题目】(1)如图甲所示,直角三角板的AB边紧靠墙壁,已知,,且,现今A点沿墙壁向O点运动,B点沿地面远离O点运动,直至AB与地面重合,求C点经过的路程。
(2)现将三角板换成量角器,量角器半径为R,开始时量角器的直径紧贴竖直墙壁,其运动方式与三角板的运动方式类同,最后它的直径与水平面相贴,求量角器倒下时扫过的面积。
【答案】(1)(2)
【解析】
解析1.作出任意时刻三角板所处的位置如图乙所示,并将其置于坐标系中,其中x轴水平向右,y轴竖直向上,O点为墙角。设该时刻AC边与水平线的夹角为,,连接OC。
因为,,由此可以推出四边形AOBC有外切圆。
因同一个圆的同一段弧所对的圆周角必相等,故,很显然,三角板的一个角是定值,得是一定值,这表明C仅在与地面夹角为的直线上运动,相对于某一瞬时的可求出,
。
因,,
其中是从到0再到的一个连续变化,所以
,
。
因此
。
2.由1的讨论,易知C点离O点最远的情形,即该直角三角形ABC,在整个过程中C点所能达到的最远处为,显然。因此,对直径为2R的量角两器应有。如图丙所示。所以量角器边缘上各点能达到的最远的地方都是在离O点2R的地方。因此,量角器倒下时扫过的面积为
。
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