Question

【题目】已知A、B两个小球质量相同，A、B、地面三者之间的碰撞均为弹性碰撞，初始位置如图所示，、均为已知，求A、B所构成的系统形成周期性运动的条件，要求不出现三体相碰。

Answer 1

【答案】当（、，，、为一奇一偶）时，系统做周期性运动，且不出现三体相碰的状态。

【解析】

解析：A、B球质量相等，故弹性碰撞时交换适动状态，因此，两球的运动可视为独立的运动，互不影响，只是A、B球在碰撞后相互替代。若A、B球独立运动，则有如下运动状态。

A球的运动状态：A球从处自由落体，碰地后竖直上抛，其运动周期为。

B球的运动状态：B球从处自由落体，碰地后竖直上抛，其运动周期为。

显然，运动过程中A球始终在B球的上方，则A、B共同运动的周期T为与的最小公倍数。

所以T存在的条件为有理数，即

（、，，、互质）。

另外，不出现三体相碰的条件为、为一奇一偶。所以，所求条件为

当（、，，、为一奇一偶）时，系统做周期性运动，且不出现三体相碰的状态。