题目内容
（2011?青岛）归纳式探究--研究弹簧的刚性系数：我们知道，弹簧受到的拉力越大，弹簧伸长的长度就越大．但是，用同样大小的力去拉两只不同的弹簧，伸长的长度不同，这说明弹簧有“软”、“硬”之分，容易被拉伸的弹簧比较软，反之比较硬．弹簧的软硬用它的刚性系数来表示．刚性系数越大，弹簧越硬．
为了研究弹簧的刚性系数与哪些因素有关，通过有关实验探究，取得数据如下（其中：S为制造弹簧的金属丝的横截面积，n为弹簧的匝数，r为弹簧的半径，A为弹簧的刚性系数）：
| 材料 | S/m2 | n | r/m | A/（N?m-1） |
| 铜 | 3×10-6 | 100 | 1×10-2 | 90 |
| 钢 | 3×10-6 | 100 | 1×10-2 | 180 |
| 铜 | 6×10-6 | 100 | 1×10-2 | 360 |
| 钢 | 3×10-6 | 200 | 1×10-2 | 90 |
| 铜 | 6×10-6 | 100 | 2×10-2 | 45 |
| S2 |
| nr3 |
| S2 |
| nr3 |
2×109N/m2
2×109N/m2
（填上数值和单位）．将数据变成公式，运用的是等价变换
等价变换
法．（2）用粗细相同的铜丝做成半径相同但匝数不同的弹簧，则弹簧的刚性系数和匝数的关系可以用图象中的图线
b
b
表示．（3）如果用粗细相同的铜丝和钢丝做成匝数和半径相同的弹簧，都用1ON的力拉伸时，
用
铜
铜
做成的弹簧变得更长．（4）用横截面积为9×l0-6m2的钢丝制成一个60匝、刚性系数为100N/m的弹簧，则该弹簧的半径为
3×10-2
3×10-2
m．分析：（1）实验中主要有四个变量，分别为材料、横截面积、弹簧匝数和弹簧的半径，根据控制变量法的要求，分别比较第2、4行数据，3、5行数据，4、6行数据，可分析出横截面积、弹簧匝数和弹簧的半径与A的关系，最终归纳出表达式，再利用表达式可计算出钢的k值，这种方法叫做等价变换法；
（2）通过刚性系数的表达式，可以看出，在其他条件相同时，弹簧的匝数越多，其刚性系数越小，因此，b是符合题意的；
（3）通过表格可以看出铜与钢谁的刚性系数更大，再根据相同条件下，刚性系数越大的弹簧越难被拉伸这一规律可做出判断；
（4）利用归纳得出的公式，将数据代入进行计算可得出弹簧的半径．
（2）通过刚性系数的表达式，可以看出，在其他条件相同时，弹簧的匝数越多，其刚性系数越小，因此，b是符合题意的；
（3）通过表格可以看出铜与钢谁的刚性系数更大，再根据相同条件下，刚性系数越大的弹簧越难被拉伸这一规律可做出判断；
（4）利用归纳得出的公式，将数据代入进行计算可得出弹簧的半径．
解答：解：（1）根据控制变量法的要求，比较第2、4行数据可得，横截面积S之比的平方，等于刚性系数A之比；比较第3、5行数据可得，弹簧的匝数n扩大一倍，刚性系数A减小一半；比较第4、6行数据可得，弹簧的半径r之比的立方，等于刚性系数A之比．综合以上分析可得，A=k?
；
选择第3行数据代入公式A=k?
得，180N/m=k?
，解得k=2×109N/m2；
将数据变在公式，这种方法叫做等价变换法．
（2）观察图象可知，a为成正比图象，b是A随弹簧匝数n的增加而减小，故图象b与研究的数据结果相符；
（3）比较表格第2、3行中的刚性系数A可知，钢的刚性系数大于铜的刚性系数，因此，在相同条件下，铜做成的弹簧会更容易被拉长；
（4）由刚性系数的公式变形得，r=
，代入数据解得，r=3×10-2m．
故答案为：（1）
；2×109N/m2；等价变换． （2）b．（3）铜． （4）3×10-2．
| S2 |
| nr3 |
选择第3行数据代入公式A=k?
| S2 |
| nr3 |
| (3×10-6m2)2 |
| 100×(1×10-2m2)3 |
将数据变在公式，这种方法叫做等价变换法．
（2）观察图象可知，a为成正比图象，b是A随弹簧匝数n的增加而减小，故图象b与研究的数据结果相符；
（3）比较表格第2、3行中的刚性系数A可知，钢的刚性系数大于铜的刚性系数，因此，在相同条件下，铜做成的弹簧会更容易被拉长；
（4）由刚性系数的公式变形得，r=
| 3 |
| ||
故答案为：（1）
| S2 |
| nr3 |
点评：本实验中的变量比较多，在分析数据时，必须在保证其他变量不变的情况下，依次分析其中的一个变量与刚性系数之间的关系，最终综合成公式的形式，这种归纳研究的方法称为等价变换；有了刚性系数的公式，剩余的问题基本要从公式入手进行分析和计算．
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