Question

如图所示电路中，电源电压不变，灯的电阻不随温度变化，当开关S₁、S₂都闭合时，灯L正常发光，此时，R₁＞R₂，R₁消耗的功率为36瓦．当开关S₁、S₂都断开时，保持R₁的电阻不变，灯L的功率为其额定功率的1/4，R₂消耗的功率为2瓦．已知R₁的最大电阻为R₂的10倍．求：
（1）灯L的额定功率．
（2）当开关S₁、S₂都断开时，R₁的最大功率．

Answer 1

分析：电源电压U不变，当S₁、S₂都闭合时，灯泡L与R₁、R₂并联，灯泡正常发光，此时灯泡的功率就是额定功率，由P=

U2

R

可求表示出R₁消耗的功率；
当S₁、S₂都断开时，灯泡L与电阻R₁、R₂串联；根据欧姆定律用电阻和电源电压表示出电路总电流；根据公式P=I²R可求出R₁的最大功率．

解答：解：（1）当开关都闭合时，三者是并联关系，设电源电压为U（即电灯的额定电压为U），电灯的额定电流为I，则有

U2

R1

=36W…①
当开关都断开时，三者是串联关系，由于此时灯泡是额定功率的1/4，所以电流是额定电流的一半，电压是额定电压的一半，电阻R₁、R₂两端的电压之和为

U

2

，所以有关系式

U

2

=

I

2

（R₁+R₂）…②
且此时R₂的功率为2W，有关系式(

I

2

)2R₂=2W…③
由①②③联立解方程组，消掉U和I，则可以得到
（2R₁-R₂）（R₁-2R₂）=0．
因为题目给定条件R₁＞R₂，所以有R₁=2R₂．
根据开关都断开可得，R₁、R₂两端电压之和为

u

2

，电阻比为2：1，所以电压比也为2：1，即R₂两端电压为

U

6

．因为流过的电流为

1

2

I，所以根据功率为2W，有

U

6

×

1

2

I=2W，解得U×I=24W，故灯泡的额定功率为24W．
（2）因为开关都断开时，灯泡的实际功率为

1

4

×24W=6W，R₂消耗的功率为2W，所以由P=I²R可得，R_L：R₂=3：1，那么
R₁的功率P₁=(

U

RL+R1+R2

)2R₁=(

U

4R2+R1

)2=

U2

(4R2+R1)2 R1

=

U2

(4R2-R1)2 R1 +16R2

当4R₂=R₁时，R₁的功率最大，因此R₁的最大功率为P₁=

U2

16R2

=

U2

16 3 RL

=

3

16

×24W=4.5W．
答：（1）灯L的额定功率24W．
（2）当开关S₁、S₂都断开时，R₁的最大功率为4.5W．

点评：本题考查电压、电阻、电流、实际功率等的计算，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是对电路的正确分析以及利用完全平方求最大值．