【题目】已知：为的直径，为圆弧上一点，垂直于过点的切线，垂足为，的延长线交直线于点.，垂足为点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，连接交于点，且时，求的长度．

【题目】为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了部分学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：）．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）共随机抽取_______名学生；

（2）_____，_______，______，______；

（3）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在______组（填组别）；

（4）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．

【题目】在中，，，为中点，为上一点（不与点、重合），连接、交于点，.设，．则关于的函数解析式为_______．

【题目】如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点为线段上一动点，过点作轴，轴， 垂足分别为点，，当四边形为正方形时，求出点的坐标；

（3）将（2） 中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动， 设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点， 连接，是否存在这样的，使是等腰三角形?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，点（0，1），点（1，0），正方形的两条对角线的交点为，延长至点，使．延长至点，使，以，为邻边做正方形．

（Ⅰ）如图①，求的长及的值；

（Ⅱ）如图②，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，记旋转角为（0°＜＜360°），连接．

①旋转过程中，当90°时，求的大小；

②在旋转过程中，求的长取最大值时，点的坐标及此时的大小（直接写出结果即可）．

【题目】如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．

（1）求证：OF∥BD；

（2）若，且⊙O的半径R=6cm．①求证：点F为线段OC的中点； ②求图中阴影部分（弓形）的面积．

（1）机场建设项目中所有6个机场投入的建设资金金额统计如下图，已知机场投入的建设资金金额是机场、所投入建设资金金额之和的三分之二，求机场投入的建设资金金额是多少亿元？并补全条形统计图．

（2）将铁路、公路、机场三项建设所投入的资金金额绘制成如下扇形统计图以及统计表，根据扇形统计图及统计表中的信息，求得 ； ； ； ； ．（请直接填写计算结果）

【题目】如图，，过上到点的距离为1，3，5，7，…的点作的垂线，分别与相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为，，…．则（1）_______________；（2）通过计算可得______________．

【题目】在平面直角坐标系中，点在抛物线上．

（1）如图1，若抛物线经过点．

①求抛物线的解析式；

②设抛物线与轴交于点，连接，，，若点在抛物线上，且与的面积相等，求点的坐标；

（2）如图2，若抛物线与轴交于点D过点作轴的平行线交抛物线于另一点．点为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一动点．若以M，D，E为顶点的三角形与相似．并且符合条件的点恰有个，请直接写出抛物线的解析式及相应的点的坐标．

（1）如图1，在中，，，，为边上的点，且，若，，求的长．

思考如下：注意到条件中有，，不妨把绕点顺时针旋转，得到，连接，易证，从而将线段，，集中在了中，因为的度数是________；，所以的长为 ；

类比探究

（2）如图2，在中，，，，为边上的点，且，，，求的长；

拓展应用

（3）如图3，是正方形内一点，，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时的长．