Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD
（1）求AD的长；
（2）若∠C=30°，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）延长AE交BC于点F，根据等角对等边即可证得BF=AB，然后证明四边形AFCD是平行四边形，据此即可求解.
（2）过B作AF的垂线BG，垂足为G．在Rt△BGF中利用三角函数即可求得GF的长，进而求得DC的长，则四边形的周长即可求解．
试题解析：（1）如图，延长AE交BC于点F．
∵AE平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF．
∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF. ∴∠BAF=∠AFB.
∴BF=AB=.
∵BC=4，∴FC=.
∵AF∥DC，AD∥BC，∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=FC=.
（2）如图，过B作AF的垂线BG，垂足为G．
∵AF∥∥DC，∠AFB=∠C=30°，
在Rt△BGF中，GF=BF•cos30°=，∴DC=AF=2GF=.
∴四边形ABCD的周长AB+BC+CD+DA=.