Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

【小题1】（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
【小题2】（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
【小题3】（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

Answer 1

【小题1】（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+2.
则
解得
∴ ．
【小题2】（2）由＝．
∴ 顶点坐标为G（1，）．
过G作GH⊥AB，垂足为H．
则AH＝BH＝1，GH＝－2＝．
∵ EA⊥AB，GH⊥AB，
∴ EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位线 ．
∴EA＝3GH＝．
过B作BM⊥OC，垂足为M．
则MB＝OA＝AB．
∵ ∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴ ∠EBA＝∠FBM＝90^°－∠ABF．
∴ R t△EBA≌R t△FBM．
∴ FM＝EA＝．
∵ CM＝OC－OM＝3－2＝1，
∴ CF＝FM＋CM＝．……………5分
【小题3】（3）要使四边形BCGH的周长最小，可将点C向上
平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C₁，
得点C₁的坐标为（－1，1）．
可求出直线BC₁的解析式为．
直线与对称轴x＝1的交点即为点H，坐标为（1，）．
点G的坐标为（1，）

解析