题目内容

(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果
AP
BP
=
BP
AB
,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设
AP
BP
=
BP
AB
=k,则k就是黄金比,并且k≈0.618.

(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足
=
底+腰
≈0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义:______;
(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618;
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(设S1<S2),如果
S1
S2
=
S2
S
,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗?请说明理由;
(4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条?

(1)满足
=
宽+长
≈0.618的矩形是黄金矩形;

(2)由
BP
AB
=k得,BP=1×k=k,从而AP=1-k,
AP
BP
=
BP
AB
得,BP2=AP×AB,
即k2=(1-k)×1,
解得k=
-1±
5
2

∵k>0,
∴k=
5
-1
2
≈0.618;

(3)因为点P是线段AB的黄金分割点,所以
AP
BP
=
BP
AB

设△ABC的AB上的高为h,则
S△APC
S△BPC
=
1
2
AP×h
1
2
BP×h
=
AP
BP
S△BPC
S△ABC
=
1
2
BP×h
1
2
AB×h
=
BP
AB

S△APC
S△BPC
=
S△BPC
S△ABC

∴直线CP是△ABC的黄金分割线.

(4)由(2)知,在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线,设AQ与CP交于点W,则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线,故黄金分割线有无数条.
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