Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD、BD、ED．

（1）求证：BD=ED；

（2）若CE=3，CD=4，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）连接OD、OE，由切线的性质可知OD⊥CD，从而可证明AC∥OD，接下来由平行线的性质、等腰三角形的性质可证明∠EOD=∠DOB；

（2）在△CED中依据勾股定理可求得ED的长，从而得到BD的长，接下来证明△ECD∽△BDA，依据相似三角形的性质可求得AB的长．

试题解析：（1）连接OD、OE．

∵CD切⊙O于点D，

∴OD⊥CD．

∵AC⊥CD，

∴OD∥AC．

∴∠EAO=∠DOB，∠AEO=∠EOD．

又∵∠EAO=∠AEO，

∴∠EOD=∠DOB．

∴BD=ED．

（2）∵AC⊥CD，

∴∠ACD=90°

又∵CE=3，CD=4，

∴ED=5．

∵BD=ED，

∴BD=5．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°

∴∠ACD=∠ADB．

∵四边形ABDE内接于⊙O，

∠CED=∠B，

∴△CDE∽△DAB．

∴．

∴．

∴AB=．