Question

已知抛物线y=ax²-2ax与直线l：y=ax（a＞0）的交点除了原点O外，还相交于另一点A．
（1）分别求出这个抛物线的顶点、点A的坐标（可用含a的式子表示）；
（2）将抛物线y=ax²-2ax沿着x轴对折（翻转180°）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：①当a=1时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l上；②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点P，使点P到直线l的距离等于线段OA的

1

24

？若存在，请直接写出满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，即可求得这个抛物线的顶点坐标，又由y=ax²-2ax与y=ax（a＞0）可得抛物线和直线的交点坐标为（0，0）、（3，3a），即可求得点A的坐标；
（2）存在，①首先求得原抛物线为y=x²-2x，可得新抛物线为y=-x²+2x，直线L：x-y=0；
②首先设P点坐标为（b，-b²+2b），则有

|b+b2-2b|

2

=

3 2

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，即可求得b的值，则可得点P的坐标．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-a），
由y=ax²-2ax与y=ax（a＞0）可得抛物线和直线的交点坐标为（0，0）、（3，3a），
∴A点坐标为（3，3a）；

（2）存在一点P，使点P到直线l的距离等于线段OA的

1

24

，
理由如下：
①∴当a=1时，A坐标为（3，3），
∴OA=3

2

，
∴原抛物线为y=x²-2x，
则新抛物线为y=-x²+2x，直线L：x-y=0；
②设P点坐标为（b，-b²+2b），则有

|b+b2-2b|

2

=

3 2

24

，
即|b²-b|=|（b-

1

2

）²-

1

4

|=

1

4

，
∴（b-

1

2

）²=0或者（b-

1

2

）²=

1

2

，
解得b=

1

2

或b=

1+ 2

2

或b=

1- 2

2

，
∴P点坐标为（

1

2

，

3

4

）或（

1+ 2

2

，

1+2 2

4

）或（

1- 2

2

，

1-2 2

4

）．

点评：此题考查了二次函数的顶点坐标的求法，二次函数与一次函数的交点坐标问题，以及线段的长的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，注意解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．