Question

【题目】如图，在中， ，点在上，以为半径的⊙交于点， 的垂直平分线交于点，交于点，连接．

（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；

（2）若， ， ，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；

（2）DE的长为.

【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；

（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程得到x的值，即可确定出DE的长．

解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：

连接OD，

∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=180°﹣90°=90°，

∴直线DE与⊙O相切；

（2）连接OE，

设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，

∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，

∴42+（8﹣x）2=22+x2，

解得： ， 则DE=．

“点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解题的关键．