Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A和B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求出直线BC的解析式．

（2）M为线段BC上方抛物线上一动点，过M作x轴的垂线交BC于H，过M作MQ⊥BC于Q，求出△MHQ周长最大值并求出此时M的坐标；当△MHQ的周长最大时在对称轴上找一点R，使|AR﹣MR|最大，求出此时R的坐标．

（3）T为线段BC上一动点，将△OCT沿边OT翻折得到△OC′T，是否存在点T使△OC′T与△OBC的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）R（1，）；（3）BT＝2或BT＝．

【解析】

（1）由已知可求A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），即可求BC的解析式；

（2）由已知可得∠QMH＝∠CBO，则有QH＝QM，MH＝MQ，所以△MHQ周长＝3QM，则求△MHQ周长的最大值，即为求QM的最大值；设M（m，），过点M与BC直线垂直的直线解析式为，交点，可求出，当m＝2时，MQ有最大值；函数的对称轴为x＝1，作点M关于对称轴的对称点M'（0，3），连接AM'与对称轴交于点R，此时|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，|AR﹣MR|的最大值为AM'；求出AM'的直线解析式为，则可求；

（3）有两种情况：当TC'∥OC时，GO⊥TC'；当OT⊥BC时，分别求解即可．

解：（1）令y=0，即，解得，

∵点A在点B的左侧

∴A（﹣2，0），B（4，0），

令x=0解得y=3，

∴C（0，3），

设BC所在直线的解析式为y=kx+3，

将B点坐标代入解得k=

∴BC的解析式为y＝-x+3；

（2）∵MQ⊥BC，M作x轴，

∴∠QMH＝∠CBO，

∴tan∠QMH＝tan∠CBO＝，

∴QH＝QM，MH＝MQ，

∴△MHQ周长＝MQ+QH+MH＝QM+QM+MQ＝3QM，

则求△MHQ周长的最大值，即为求QM的最大值；

设M（m，），

过点M与BC直线垂直的直线解析式为，

直线BC与其垂线相交的交点，

∴，

∴当m＝2时，MQ有最大值，

∴△MHQ周长的最大值为，此时M（2，3），

函数的对称轴为x＝1，

作点M关于对称轴的对称点M'（0，3），

连接AM'与对称轴交于点R，此时|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，

∴|AR﹣MR|的最大值为AM'；

∵AM'的直线解析式为y＝x+3，

∴R（1，）；

（3）①当TC'∥OC时，GO⊥TC'，

∵△OCT≌△OTC'，

∴，

∴

∴BT＝2；

②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，

OT＝，

∵∠BOT＝∠BCO，

∴，

∴OH＝，

∴

∴BT＝；

综上所述：BT＝2或BT＝．