Question

在矩形OABC中，OA=4，AB=2，以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系．将矩形OABC绕点O逆时针旋转至矩形ODEF．
（1）如图1，当∠AOD=60°时，△OCF的形状是______；
（2）如图2，当点E落在y轴的正半轴上，试求CE的长度和点D的坐标；
（3）如图3，在图2的基础上再沿y轴的负半轴向下平移，平移速度是每秒1个单位长度．
①求经过几秒，直线DE经过点A；
②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式

Answer 1

【答案】分析：（1）利用有一个角是60°的三角形是等边三角形即可作出判定；
（2）根据OA=4，OC=2，BC=OA，因而就可求得BC=2CD，则可以求出∠BCD=60°，则旋转角即可求得；作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N，根据三角函数即可求得：DM，CM的长，从而求得D的坐标，在Rt△CFN中，根据三角函数即可求得CN，FN的长，即得F的坐标；
（3）①HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在Rt△C′DH中利用三角函数即可求得DH，从而得到HE，再在△HEB中，利用三角函数求得BH，即可求得时间．
②重合的部分可能是四边形，也可能是三角形，应分两种情况进行讨论．
解答：解（1）等边三角形…（1分）

（2）∵OE==2，OC=2，
∴CE=2-2…（2分）
过点D作DG⊥OE
∵DG•OE=DE•OD
∴DG=
OG=
∴D（，）…（3分）

（3）①设直线DE所在直线的解析式为y=kx+b，
∵D（，），E（0，2）
∴
∴DE所在的直线为y=-x+2
∴平移后DE所在的直线为y=-x+b，把A（4，0）代入得b=2∴平移了2-2  （2-2）÷1=2-2（秒）…（5分）
②s=t+1                          （0≤t≤-2）…（6分）
S=-t²+（4-4）t-20+8      （-2＜t≤2-2）…（7分）
S=4-t²                       （2-2＜t≤）…（8分）
S=t²-4t+20                    （＜t≤2） …（9分）
0                              （2＜t） …（10分）
点评：本题是三角函数与图形的旋转相结合的题目，注意旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．得到相等关系是解决本题的关键．