Question

【题目】在正方形ABCD中，点E为AD中点，DF=CD，则下列说法：（1）BE⊥EF；（2）图中有3对相似三角形；（3）E到BF的距离为AB；（4）=．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

试题分析：根据正方形的性质得到AD=AB=BC=CD，∠A=∠ABC=C=∠D=90°，由于点E为AD中点，DF=CD，于是得到=2，推出△ABE∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠ABE=∠DEF，根据平角的定义得到∠BEF=90°，于是求得BE⊥EF；故①正确；根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，推出△ABE∽△BEF，于是得到△ABE∽△BEF∽△DEF，即可得到图中有3对相似三角形；故②正确；根据相似三角形的性质得到∠ABE=∠EBF，根据角平分线的性质得到E到BF的距离=AE，于是得到E到BF的距离为AB；故③正确；设DF=1，则AE=DE=2，AB=BC=CD=4，由勾股定理得到BE==2，EF==，求得S△BEF=BEEF=5，S△BCF=BCCF==6于是得到=，故④错误．

解：在正方形ABCD中，

∵AD=AB=BC=CD，∠A=∠ABC=C=∠D=90°，

∵点E为AD中点，DF=CD，

∴=2，

∴△ABE∽△DEF，

∴∠ABE=∠DEF，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠DEF=90°，

∴∠BEF=90°，

∴BE⊥EF；故①正确；

∵△ABE∽△DEF，

∴，

∴，

∵∠A=∠BEF=90°，

∴△ABE∽△BEF，

∴△ABE∽△BEF∽△DEF，

∴图中有3对相似三角形；故②正确；

∵△ABE∽△BEF，

∴∠ABE=∠EBF，

∴E到BF的距离=AE，

∴E到BF的距离为

设DF=1，则AE=DE=2，AB=BC=CD=4，

∴CF=3，

∴BE==2，EF==，

∴S△BEF=BEEF=5，S△BCF=BCCF==6

∴=，故④错误，

故选B．