Question

【题目】已知AB∥CD，AM平分∠BAP，CM平分∠PCD．

（1）如图①，当点P、M在直线AC同侧，∠AMC＝60°时，求∠APC的度数；

（2）如图②，当点P、M在直线AC异侧时，直接写出∠APC与∠AMC的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）∠APC＝120°；（2）∠APC＝360°﹣2∠AMC．

【解析】

(1)延长AP交CD于点Q, 连接MP并延长到点R,根据角度关系推算即可.

(2) 过P作PQ∥AB于Q,MN∥AB于N,根据角度关系推算即可.

解：(1)如图1,延长AP交CD于点Q,则可得到∠BAP＝∠AQC,

则∠APC＝∠BAP+∠DCP＝2(∠MAP+∠MCP),

连接MP并延长到点R,则可得∠APR＝∠MAP+∠AMP,∠CPR＝∠MCP+∠CMP,

所以∠APC＝∠AMC+∠MAP+∠MCP,

所以∠APC＝∠AMC+∠APC,

所以∠APC＝2∠AMC＝120°．

(2)如图2,过P作PQ∥AB于Q,MN∥AB于N,

则AB∥PQ∥MN∥CD,

∴∠APQ＝180°﹣∠BAP,∠CPQ＝180°﹣∠DCP,∠AMN＝∠BAM,∠CMN＝∠DCM,

∵AM平分∠BAP,CM平分∠PCD,

∴∠BAP＝2∠BAM,∠DCP＝2∠DCM,

∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝180°﹣∠BAP+180°﹣∠DCP＝360°﹣2(∠BAM+∠DCM)＝360°﹣2(∠BAM+∠DCM)＝360°﹣2∠AMC,即∠APC＝360°﹣2∠AMC．