题目内容

已知抛物线y=ax²-2ax+c-1的顶点在直线y=- $数学公式$ 上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α²+β²=10．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设这个抛物线与y轴的交点为P，H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；
（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．

解：（1）由y=ax²-2ax+c-1=a（x-1）²+c-1-a得抛物线的顶点为
A（1，c-1-a）．
∵点A在直线y=- $\text{[math]}$ x+8上，
∴c-1-a=- $\text{[math]}$ ×1+8，
即c=a+ $\text{[math]}$ ，①
又抛物线与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，
∴α、β是方程ax²-2ax+c-1=0的两个根．
∴α+β=2，αβ= $\text{[math]}$ ，
又α²+β²=10，即（α+β）²-2αβ=10，
∴4-2× $\text{[math]}$ =10，
即c=1-3a②，
由①②解得：a=- $\text{[math]}$ ，c=5，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
此时，抛物线与x轴确有两个交点，
答：这个抛物线解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4．

（2）由抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
令x=0，得y=4，故P点坐标为（0，4），
令y=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∵α＜β，∴B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵BH=t，∴HC=4-t．
∵HK∥BP， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PK= $\text{[math]}$ t
如图，过H作HG⊥PC于G，则HG=HC，

sin∠BCP=（4-t）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （4-t），
∴S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t× $\text{[math]}$ （4-t）= $\text{[math]}$ t²+2t，
∵点H在线段BC上且HK∥BP，∴0＜t＜4．
∴所求的函数式为：S=- $\text{[math]}$ t²+2t（0＜t＜4），
答：将S表示成t的函数为S=- $\text{[math]}$ t²+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=- $\text{[math]}$ t²+2t=- $\text{[math]}$ （t-2）²+2（0＜t＜4），知：
当t=2（满足0＜t＜4）时，S取最大值，其值为2，
此时，点H的坐标为（1，0），
∵HK∥PB，且H为BC的中点，
∴K为PC的中点，
作KK′⊥HC于K′，
则KK′= $\text{[math]}$ PO=2，OK′= $\text{[math]}$ CO= $\text{[math]}$ ，
∴点K的坐标为（ $\text{[math]}$ ，2），
设所求直线的解析式为y=kx+b，则
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
故所求的解析式为y=4x-4，
答S的最大值是2，S取最大值时过H、K两点的直线的解析式是y=4x-4．
分析：（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+ $\text{[math]}$ ，根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，和HK∥BP，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出PK= $\text{[math]}$ t，过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）根据S=- $\text{[math]}$ （t-2）²+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到方程组求出即可．
点评：本题主要考查对二次函数的最值，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，根与系数的关系，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．