题目内容
(2013年浙江义乌8分)已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,PD交⊙O于点C,D,PE是⊙O的切线,E为切点,连结AE,交CD于点F.
(1)若⊙O的半径为8,求CD的长;
(2)证明:PE=PF;
(3)若PF=13,sinA=,求EF的长.
解:(1)连接OD,
∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,⊙O的半径为8,
∴OB=OA=4,BC=BD=CD。
∴在Rt△OBD中,。
∴CD=2BD=8。
(2)证明:∵PE是⊙O的切线,∴∠PEO=90°。
∴∠PEF=90°-∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°-∠A。
∵OE=OA,∴∠A=∠AEO。∴∠PEF=∠PFE。∴PE=PF。
(3)过点P作PG⊥EF于点G,
∴∠PGF=∠ABF=90°。
∵∠PFG=∠AFB,∴∠FPG=∠A。
∴FG=PF•sinA=13×=5。
∵PE=PF,∴EF=2FG=10。
【解析】(1)首先连接OD,由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,⊙O的半径为8,可求得OB的长,又由勾股定理,可求得BD的长,然后由垂径定理,求得CD的长。
(2)由PE是⊙O的切线,易证得∠PEF=90°-∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°-∠A,继而可证得∠PEF=∠PFE,根据等角对等边的性质,可得PE=PF。
(3)首先过点P作PG⊥EF于点G,易得∠FPG=∠A,即可得FG=PF•sinA=13×=5,又由等腰三角形的性质,求得答案。
考点:切线的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,等腰三角形的性质。
(2013年浙江义乌10分)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数.下表提供了部分采购数据.
采购数量(件) |
1 |
2 |
… |
A产品单价(元/件) |
1480 |
1460 |
… |
B产品单价(元/件) |
1290 |
1280 |
… |
(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y1(元/件),求y1与x的关系式;
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的,且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案;
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完.在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.