题目内容
（2013年浙江义乌10分）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（
，0），E（
， 0），F（
，
）．
（1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转450得到△A1B1C．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；
（2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转450，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线
上．请你求出符合条件的抛物线解析式；
（3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线
上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标．请你直接写出点P的所有坐标．
解：（1）
。
A1C和DF的位置关系是平行。
（2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，
∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：
，解得
。
∴
。
②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：，解得
。
∴
。
③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：
，解得
。
∴
。
（3）在旋转过程中，可能有以下情形：
①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示，
易求得点P坐标为（0，
）。
②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示，
设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2，
易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b。
联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即
，∴
。
∵B′C′=1，∴根据题意易得：
，∴
，即
。
∴
，解得
。
∴
，解得
x或
。
∵点C′的横坐标较小，∴。
当时，
。
∴P（
，
）。
③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示，
设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2．
易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为
。
联立y=x2与得：
，即
，∴
。
∵C′A′=1，∴根据题意易得：，∴，即。
∴，解得。
∴
，解得
x或
。
∵点C′的横坐标较大，∴。
当时，。
∴P（
，）。
④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上．
因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在。
⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示，
与③同理，可求得：P（，）。
⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示，
与②同理，可求得：P（
，
）。
综上所述，点P的坐标为：（0，），（，），P（，，（，）。
【解析】（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解。
（2）首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解。
（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解。
考点：旋转变换的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用。
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期末集结号系列答案（2013年浙江义乌10分）为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数．下表提供了部分采购数据．
|
采购数量（件） |
1 |
2 |
… |
|
A产品单价（元/件） |
1480 |
1460 |
… |
|
B产品单价（元/件） |
1290 |
1280 |
… |
（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的
，且A产品采购单价不低于1200元．求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完．在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．
，求EF的长． 
