Question

【题目】如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF.

(1)在图(1)中,请你通过观察、思考,猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)

(2)将△DEF沿直线m向左平移到图(2)的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合?请证明你的猜想.

Answer 1

【答案】(1)AB=AE，AB⊥AE；(2)能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90后能与△BCG重合)，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意，BC=AC=DF=EF，且AC⊥BC，可知△ABC，△DEF为等腰直角三角形，得出结论；

（2）将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合．已知BC=AC，由（1）可知∠DEF=45°，可知△CEG为等腰直角三角形，则CG=CE，利用“SAS”证明△BCG≌△ACE，得出结论．

试题解析：解：（1）AB=AE，AB⊥AE；

（2）将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合），理由如下：

∵AC⊥BC，DF⊥EF，B、F、C、E共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°，又∵AC=BC，DF=EF，∴∠DEF=∠D=45°，在△CEG中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE+∠DEF=90°

∴∠CGE=∠DEF=45°，∴CG=CE，在△BCG和△ACE中，∵BC=AC，∠ACB=∠ACE，CG=CE，∴△BCG≌△ACE（SAS），∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合）．