题目内容

已知：关于x的一元二次方程x²-（1+2k）x+k²-2=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为负整数时，抛物线y=x²-（1+2k）x+k²-2与x轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；
（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点A，过A作x轴的平行线与抛物线交于点B，连接OB，将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求n的取值范围．

解：（1）由题意得，（1+2k）²-4（k²-2）≥0，
解得， $\text{[math]}$
K的取值范围是 $\text{[math]}$ ．

（2）k为负整数，k=-2，-1．
当k=-2时，y=x²+3x+2与x轴的两个交点是（-1，0）（-2，0）是整数点，符合题意，
当k=-1时，y=x²+x-1与x轴的交点不是整数点，不符合题意，
抛物线的解析式是y=x²+3x+2．

（3）由题意得，A（0，2），B（-3，2）
设OB的解析式为y=mx+2，解得 $\text{[math]}$
OB的解析式为 $\text{[math]}$ ，y=x²+3x+2的顶点坐标是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
OB与抛物线对称轴的交点坐标（ $\text{[math]}$ ，1），
直线AB与抛物线对称轴的交点坐标是（ $\text{[math]}$ ，2），
由图象可知，n的取值范围是 $\text{[math]}$ ，
分析：（1）根据一元二次方程有两个实数根，求出根的判别式，即可求出k的取值范围；
（2）根据（1）中求出的k的取值范围，分别讨论k=-2，k=-1时的情况，求出抛物线的解析式；
（3）由题意得，A（0，2），B（-3，2），设OB的解析式为y=mx+2，
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和函数图象平移的知识，此题数形结合比较方便．