题目内容
【题目】如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．
(1)若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为 ，BO与AD的位置关系为 ；
(2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B(D)、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM．探究线段FM与CM之间的关系，并证明；
(3)若两个三角形按图4方式放置，其中B、C(D)、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK＝EK．
【答案】(1)AF＝CD， BO⊥AD；(2)FM＝MC，FM⊥CM，理由见解析；(3)证明见解析.
【解析】
（1）利用全等三角形的性质，线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题；
（2）结论：FM＝MC，FM⊥CM．如图3中，延长FM交CA的延长线于H．想办法证明△FCH是等腰直角三角形，FM＝MH即可解决问题；
（3）如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．想办法证明△BKJ≌△EKG即可解决问题；
(1)如图2中，
∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，
∴AB＝BD，BC＝BF，
∴AF＝CD，
∵∠AFO＝∠DCO＝90°，∠AOF＝∠DOC，
∴△AOF≌△DOC(AAS)，
∴OA＝OC，∵BA＝BD，
∴BO垂直平分线段AD．
∴BO⊥AD，
故答案为：AF＝CD，BO⊥AD．
(2)结论：FM＝MC，FM⊥CM．
理由：如图3中，延长FM交CA的延长线于H．
∵∠ACB+∠EFC＝180°，B，F，C共线，
∴EF∥CH，
∴∠EFM＝∠H，
∵EM＝MA，∠EMF＝∠AMH，
∴△EFM≌△AHM(AAS)，
∴FM＝MH，EF＝AH，
∵∠FCH＝90°，
∴CM＝FM＝MH，
即FM＝MC，
∵△Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，
∴BF＝AC，EF＝BC，
∴BA＝AH，
∴FC＝CH，
∵FM＝MH，
∴CM⊥FM．
(3)如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．
∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，
∴BC＝EF，AC＝CF，
∵CH＝AH，CG＝GF，
∴CH＝FG，
∵∠BCH＝∠F＝90°，
∴△BCH≌△EFG(SAS)，
∴∠CBH＝∠FEG，
∵CH＝CG，∠GCH＝90°，
∴∠CGH＝∠CHG＝45°，
∴∠BHG＝180°﹣45°﹣∠GBH＝135°﹣∠GBH，
∵∠CGE＝∠CGH+∠HGE＝90°+∠GEF，
∴∠HGE＝45°+∠GEF，
∴∠HGE+∠BHG＝180°，
∵∠BJK+∠BJH＝180°，∠BJH＝∠BHJ，
∴∠BJK＝∠HGE，
∵GE＝BH＝BJ，∠BKJ＝∠GKE，
∴△BKJ≌△EKG(AAS)，
∴BJ＝GE．
