Question

【题目】已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．

（1）求证：直线是的切线；

（2）若，垂足为，的半径为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】

（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；

（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．

（1）连接OA，如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°．

∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得：∠BAD=120°，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD．

∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线．

（2）连接OA．

∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．

∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°．在Rt△AOM中，AM=OAsin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．