如图所示.已知二次函数y=ax2+bx-1和B(4.3).l为过点且与x轴平行的直线.P(m.n)是该二次函数图象上的任意一点.过P作PH⊥l.H为垂足．(1)求二次函数y=ax2+bx-1的解析式,(2)请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围,(3)对应当m=0.m=2和m=4时.分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律.并猜想一个结论.证明对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2012•永州）如图所示，已知二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为

过点（0，-2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|²和|PH|²的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）令y=ax²+bx-1=0，解出x的值，进而求出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|²和|PH|²的值．然后观察其规律，再进行证明；
（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
∴

4a+2b-1=0

16a+4b-1=3

，
解得a=

，b=0，
∴二次函数的解析式为y=

x²-1；

（2）令y=

x²-1=0，
解得x=-2或x=2，
由图象可知当-2＜x＜2时y＜0；

（3）当m=0时，|PO|²=1，|PH|²=1；
当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|²=4，|PH|²=4，
当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|²=25，|PH|²=25，
由此发现|PO|²=|PH|²，
设P点坐标为（m，n），即n=

m²-1
|OP|=

m2+n2

，
|PH|²=n²+4n+4=n²+m²，
故对于任意实数m，|PO|²=|PH|²；