题目内容
(2012•永州)如图,AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,A为切点,连接PC交⊙O于点B,连接AB,且PC=10,PA=6.
求:(1)⊙O的半径;
(2)cos∠BAC的值.
求:(1)⊙O的半径;
(2)cos∠BAC的值.
分析:(1)由AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,根据切线的性质,即可得∠PAC=90°,又由PC=10,PA=6,利用勾股定理即可求得AC的值,继而求得⊙O的半径;
(2)由AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,根据圆周角定理与切线的性质,即可得∠ABC=∠PAC=90°,又由同角的余角相等,可得∠BAC=∠P,然后在Rt△PAC中,求得cos∠P的值,即可得cos∠BAC的值.
(2)由AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,根据圆周角定理与切线的性质,即可得∠ABC=∠PAC=90°,又由同角的余角相等,可得∠BAC=∠P,然后在Rt△PAC中,求得cos∠P的值,即可得cos∠BAC的值.
解答:解:(1)∵AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,
∴CA⊥PA,
即∠PAC=90°,
∵PC=10,PA=6,
∴AC=
=8,
∴OA=
AC=4,
∴⊙O的半径为4;
(2)∵AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,
∴∠ABC=∠PAC=90°,
∴∠P+∠C=90°,∠BAC+∠C=90°,
∴∠BAC=∠P,
在Rt△PAC中,cos∠P=
=
=
,
∴cos∠BAC=
.
∴CA⊥PA,
即∠PAC=90°,
∵PC=10,PA=6,
∴AC=
PC2-PA2 |
∴OA=
1 |
2 |
∴⊙O的半径为4;
(2)∵AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,
∴∠ABC=∠PAC=90°,
∴∠P+∠C=90°,∠BAC+∠C=90°,
∴∠BAC=∠P,
在Rt△PAC中,cos∠P=
PA |
PC |
6 |
10 |
3 |
5 |
∴cos∠BAC=
3 |
5 |
点评:此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.
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