Question

如图，D为等边△ABC的BC边上一点，已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连接BH．试证：∠BHD=60°．

Answer 1

解：作AE⊥DC于E，
∵CH⊥AD，
∴∠DHC=∠AED=90°，
∵∠ADE=∠CDH，
∴△DAE∽△DCH，
∵等边△ABC中，BD=1，CD=2，
∴BE=BC=×（2+1）=1.5，
∴DE=BE-BD=0.5，
∵，
∴DH×DA=DE×DC=0.5×2=1=BD²，
∴，
∵∠BDH=∠ADB，
∴△BDH∽△ADB，
∴∠BHD=∠ABC=60°．
分析：首先作AE⊥DC于E，然后证得△DAE∽△DCH，又由三线合一的性质求得DE的长，即可得DH×DA=DE×DC=1=BD²，则可证得：△BDH∽△ADB，则问题得解．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．