题目内容
【题目】已知，
是一元二次方程
的两个实数根，且
，抛物线
的图象经过点
，
，如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与
轴的另一个交点为
，抛物线的顶点为
，试求出点，的坐标，并判断
的形状；
（3）点
是直线
上的一个动点（点不与点
和点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点
，点
在直线上，距离点为
个单位长度，设点的横坐标为
，
的面积为
，求出与之间的函数关系式．
【答案】（1）
；（2）
，
，
是直角三角形；（3）当
时，
，当
或
时，
．
【解析】
（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与
轴的交点，再判断出
和
都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出
，再分两种情况，当点
在点
上方和下方，分别计算即可．
解（1）
，
，
，
，
是一元二次方程
的两个实数根，且
，
，
，
抛物线
的图象经过点
，
，
，
，
抛物线解析式为，
（2）令
，则
，
，
，
，
，
顶点坐标，
过点
作
轴，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
是直角三角形；
（3）如图，
，，
直线
解析式为
，
点的横坐标为
，
轴，
点的横坐标为，
点在直线上，点在抛物线上，
，
，
过点
作
，
是等腰直角三角形，
，
，
当点在点上方时，即时，
，
，
如图3，当点在点下方时，即或时，
，
．
综上所述：当点在点上方时，即时，，当点在点下方时，即或时，．
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