题目内容
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,点M是AB上的动点(不与A,B重合),过点M作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN,令AM=x.(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
分析:(1)由△AMN∽△ABC得出AN,又S△AMN=S△MNP,求得△AMN的面积即可.
(2)设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD,并过点M作MQ⊥BC于Q,由(1)中△AMN∽△ABC得
=
,则求得MN、OD,再证△BMQ∽△BCA,得
=
,代入求得x的值.
(2)设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD,并过点M作MQ⊥BC于Q,由(1)中△AMN∽△ABC得
AM |
AB |
MN |
BC |
BM |
BC |
QM |
AC |
解答:解:(1)∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴
=
,即
=
.
∴AN=
x.
∴S=S△MNP=S△AMN=
•
x•x=
x2.(0<x<4)
(2)如图,设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD.
AO=OD=
MN.
在Rt△ABC中,BC=
=5.
由(1)知△AMN∽△ABC.
∴
=
,即
=
.
∴MN=
x.
∴OD=
x.
过点M作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD=
x.
在Rt△BMQ与Rt△BAC中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA.
∴
=
,即
=
.
解得BM=
x.
AB=BM+AM=
x+x=4.
解得x=
,即当x=
时,⊙O与BC相切.
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴
AM |
AB |
AN |
AC |
x |
4 |
AN |
3 |
∴AN=
3 |
4 |
∴S=S△MNP=S△AMN=
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
8 |
(2)如图,设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD.
AO=OD=
1 |
2 |
在Rt△ABC中,BC=
AB2+AC2 |
由(1)知△AMN∽△ABC.
∴
AM |
AB |
MN |
BC |
x |
4 |
MN |
5 |
∴MN=
5 |
4 |
∴OD=
5 |
8 |
过点M作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD=
5 |
8 |
在Rt△BMQ与Rt△BAC中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA.
∴
BM |
BC |
QM |
AC |
BM |
5 |
| ||
3 |
解得BM=
25 |
24 |
AB=BM+AM=
25 |
24 |
解得x=
96 |
49 |
96 |
49 |
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质及切线的性质,综合性较强,难度较大.
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