题目内容
（2013•燕山区一模）阅读下列材料：
问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°． 判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是
（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为
（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，且EG=2，GF=3，则△AEF的面积为
问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°． 判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是
EF=BE+DF
EF=BE+DF
；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为
5
5
，△EFC的周长为10
10
；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，且EG=2，GF=3，则△AEF的面积为
15
15
．分析：（1）先根据旋转的性质得出△ADF≌△ABH，则∠DAF=∠BAH，AF=AH，再证明∠EAF=∠EAH=45°，利用SAS证明△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF=HE=BE+HB，进而得出EF=BE+DF；
（2）由（1）知△FAE≌△HAE，根据全等三角形对应边上的高相等得出AG=AB=5，再利用HL证明△AEG≌△ABE，得出EG=BE，同理得到GF=DF，则△EFC的周长为BC+CD=10；
（3）将△AEF置于图（2）中，设AB=x，则CE=x-2，CF=x-3，在△CEF中，运用勾股定理得出FC2+EC2=EF2，列出关于x的方程，解方程求出x的值，即为AG的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
（2）由（1）知△FAE≌△HAE，根据全等三角形对应边上的高相等得出AG=AB=5，再利用HL证明△AEG≌△ABE，得出EG=BE，同理得到GF=DF，则△EFC的周长为BC+CD=10；
（3）将△AEF置于图（2）中，设AB=x，则CE=x-2，CF=x-3，在△CEF中，运用勾股定理得出FC2+EC2=EF2，列出关于x的方程，解方程求出x的值，即为AG的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
解答：解：（1）EF=BE+DF．理由如下：
∵将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，
∴△ADF≌△ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，
，
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF；
（2）∵△FAE≌△HAE，AG、AB分别是△FAE与△HAE的高，
∴AG=AB=5．
在△AEG与△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°，
，
∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），
∴EG=BE，
同理GF=DF，
∴△EFC的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=10；
（3）将△AEF置于图（2）中．
∵EG=2，GF=3，
∴BE=2，DF=3，EF=5．
设AB=x，则CE=x-2，CF=x-3，
在△CEF中，∵∠C=90°，
∴FC2+EC2=EF2，
故（x-3）2+（x-2）2=52，
解得：x1=-1（舍去），x2=6，
∴AB=6，
∴AG=AB=6，
∴△AEF的面积=
EF•AG=
×5×6=15．
故答案为EF=BE+DF；5，10；15．
∵将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，
∴△ADF≌△ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，
|
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF；
（2）∵△FAE≌△HAE，AG、AB分别是△FAE与△HAE的高，∴AG=AB=5．
在△AEG与△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°，
|
∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），
∴EG=BE，
同理GF=DF，
∴△EFC的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=10；
（3）将△AEF置于图（2）中．
∵EG=2，GF=3，
∴BE=2，DF=3，EF=5．
设AB=x，则CE=x-2，CF=x-3，
在△CEF中，∵∠C=90°，
∴FC2+EC2=EF2，
故（x-3）2+（x-2）2=52，
解得：x1=-1（舍去），x2=6，
∴AB=6，
∴AG=AB=6，
∴△AEF的面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故答案为EF=BE+DF；5，10；15．
点评：本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的周长与面积等知识，同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，综合性较强，难度适中．
练习册系列答案
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