题目内容

(2013•宝安区二模)已知:如图1,抛物线经过点O、A、B三点,四边形OABC是直角梯形,其中点A在x轴上,点C在y轴上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若D为OA的中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动,速度为每秒1个单位,移动时间记为t秒.几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分?并求出此时P点的坐标;
(3)如图2,作△OBC的外接圆O′,点Q是抛物线上点A、B之间的动点,连接OQ交⊙O′于点M,交AB于点N.当∠BOQ=45°时,求线段MN的长.
分析:(1)根据抛物线经过原点,设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0),然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值,即可得解;
(2)先求出梯形OABC的面积为64和AB的长,再求出两个部分的面积分别为16和48,然后分△ADP的面积是16时,过点P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质求出PE的长,再根据三角形的面积列式计算即可得解;△PDO的面积是16时,求出OP的长,再列式求解即可;
(3)先利用勾股定理列式求出OB,再根据两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOB和△ONB相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出ON的长,连接BM,判断出△OBM是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出OM,再根据MN=ON-OM计算即可得解.
解答:解:(1)∵抛物线经过点A(12,0)、B(4,8)和原点O,
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0),
144a+12b=0
16a+4b=8

解得
a=-
1
4
b=3

∴抛物线所对应的函数关系式为y=-
1
4
x2+3x;

(2)∵A(12,0),B(4,8),BC∥OA,
∴OA=12,BC=4,OC=8,∠OAB=45°,
∴梯形OABC的面积=
1
2
×(4+12)×8=64,
∵AD是OA的中点,
∴OD=AD=
1
2
OA=
1
2
×12=6,
∵线段PD将梯形OABC的面积分成1:3两部分,
∴分成两部分的面积分别为64×
1
1+3
=16,
64×
3
1+3
=48,
如图1,△ADP的面积是16时,过点P作PE⊥x轴于E,
∵AP=t,
∴PE=
2
2
t,
1
2
×6×
2
2
t=16,
解得t=
16
2
3

∴PE=
16
2
3
×
2
2
=
16
3

OE=12-
16
2
3
×
2
2
=
20
3

∴点P(
20
3
16
3
),
△PDO的面积是16时,
1
2
×6•OP=16,
解得OP=
16
3

∵AB=
82+(12-4)2
=8
2

∴t=(AB+BC+OC-OP)÷1=8
2
+4+8-
16
3
=8
2
+
20
3

此时,点P(0,
16
3
),
综上所述,
16
2
3
秒或8
2
+
20
3
秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1:3两部分,
此时P点的坐标为(
20
3
16
3
)或(0,
16
3
);

(3)在Rt△OBC中,由勾股定理得,OB=
OC2+BC2
=
82+42
=4
5

∵∠OAB=45°,∠BOQ=45°,
∴∠OAB=∠BOQ,
又∵∠ABO=∠OBN,
∴△AOB∽△ONB,
ON
AO
=
OB
AB

ON
12
=
4
5
8
2

解得ON=3
10

如图2,连接BM,∵∠BOQ=45°,OB是⊙O′的直径,
∴△OBM是等腰直角三角形,
∴OM=
2
2
OB=
2
2
×4
5
=2
10

∴MN=ON-OM=3
10
-2
10
=
10
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积,相似三角形的判定与性质,(2)难点在于要根据点P的位置分情况讨论,(3)判断出两个三角形相似是解题的关键.
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