Question

在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于点E．

⑴ 判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；
⑵ 联结BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．

Answer 1

⑴△ABP与△PCE相似．（2）BP=

试题分析：解：⑴△ABP与△PCE相似．
理由如下：
∵矩形ABCD，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP＋∠BPA＝90°，
∵PE⊥AP， ∴∠CPE＋∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠CPE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE．
⑵ 解法一：由⑴得△ABP∽△PCE
∴＝，即＝，
∵PE∥BD，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵ AB＝CD＝2，BC=AD＝3，
∴BP＝=．
解法二：由⑴得△ABP∽△PCE
∴＝，
∵ AB＝2，AD＝3，设BP=x，则PC=3－x，代入上式得
=，
∴CE＝，
∵PE∥BD，
∴＝，即＝，
解得=，或＝3(不合题意，舍去)，
即BP=．
点评：难度小，主要考查是否掌握相似三角形的判定。