Question

在平面直角坐标系中，直线y=

3

3

x-

3

与x轴、y轴分别交于A，B两点．现有半径为1的动圆P，且P的坐标为（n，0），若动圆P与直线AB交，则n的取值范围是

2 3

3

-1＜n＜

2 3

3

+1

．

Answer 1

分析：首先求出直线y=

3

3

x-

3

与x轴、y轴分别交于A，B两点的坐标，再分别讨论当P在直线AB的左侧和右侧分别和直线相切时的n的值，即可求出动圆P与直线AB交时，n的取值范围．

解答：解：直线y=

3

3

x-

3

与x轴、y轴分别交于A，B，
设y=0，则0=

3

3

x-

3

，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵b=-

3

，
∴B（0，-

3

），
当p在直线AB的左侧时，设圆p和直线AB相切于D，连接PD，
在Rt△ABD中，PD=1，
∵OB=

3

，AO=1，
∴tan∠BAO=

3

1

=

3

，
∴∠BAO=60°，
∴∠DPA=30°，
∴cos30°=

PD

AP

=

1

AP

=

3

2

，
∴AP=

2 3

3

，
∴OP=AP-OA=

2 3

3

-1，
当点p在直线AB的右侧时，AP=

2 3

3

，
∴OP=OA+AP=1+

2 3

3

，
∴若动圆P与直线AB交，则n的取值范围是

2 3

3

-1＜n＜

2 3

3

+1，
故答案为：

2 3

3

-1＜n＜

2 3

3

+1．

点评：本题考查了一次函数和坐标轴的交点坐标和判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交?d＜r，②直线l和⊙O相切?d=r，③直线l和⊙O相离?d＞r．解题的关键是求出圆和直线相切时的n的值，进而确定相交的取值范围．