Question

（本小题满分10分）

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交

于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

1.（1）如图1，若AO = OB，请写出AO与BD

的数量关系和位置关系；

2.（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图2，其中AO = OB．

求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

3.（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到

图3，求的值．

 

Answer 1

 

1.（1）AO = BD，AO⊥BD；

2.（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

  又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，

∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．

又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．

∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

3.（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．

又∵∠BOE = ∠AOC ，

∴△BOE ∽ △AOC．

∴．

又∵OB = kAO，

 

 

 

由（2）的方法易得 BE = BD．∴．

解析:略