题目内容
问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2，其中O1、O2分别是AD、BC上的点，半圆O1分别与AB、BD 相切，半圆O2分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．（1）请解决该问题；
（2）①下面方框中是小明简要的解答过程：
解得x=
．所以最终拼接成的圆形桌面的半径为
m．老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
②要使①中小明解得的答案是正确的，a、b需要满足什么数量关系？
【答案】分析：（1）设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，根据∠C=90°，得出O2E=O2C，DC=DE=a，最后根据O2B2=BE2+O2E2，得出（b-EO2）2=（
-a）2+O2E2，求出EO2即可，
（2）①小明的错误是“O1O2=2x”，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切即可
解答：
解：（1）如图，设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，
∵半圆O2与CD 相切，且∠C=90°，
∴O2E=O2C，DC=DE=a．
在Rt△BEO2中，O2B2=BE2+O2E2，
∴（b-EO2）2=（
-a）2+O2E2，
解得EO2=
，
∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=
m；
（2）①小明的错误是半圆O1与半圆O2不能保证外切，即“O1O2=2x”是错误的，
②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切．
此时半圆O1与BD 的切点、半圆O2与BD的切点以及O1O2与BD的交点重合．
所以
-a=a，
解得b=
a．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线长定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是综合应用有关性质列出关于半径的方程．
-a）2+O2E2，求出EO2即可，（2）①小明的错误是“O1O2=2x”，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切即可
解答：
解：（1）如图，设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，∵半圆O2与CD 相切，且∠C=90°，
∴O2E=O2C，DC=DE=a．
在Rt△BEO2中，O2B2=BE2+O2E2，
∴（b-EO2）2=（
-a）2+O2E2，解得EO2=
，∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=
m；（2）①小明的错误是半圆O1与半圆O2不能保证外切，即“O1O2=2x”是错误的，
②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切．
此时半圆O1与BD 的切点、半圆O2与BD的切点以及O1O2与BD的交点重合．
所以
-a=a，解得b=
a．点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线长定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是综合应用有关性质列出关于半径的方程．
练习册系列答案
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