Question

（2013•昌平区二模）（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；
（2）【问题拓展】已知a＞0，b＞0，且a+b=2，写出m=

a2+1

+

b2+4

的最小值；
（3）【问题延伸】已知a＞0，b＞0，写出以

a2+b2

、

a2+4b2

、

4a2+b2

为边长的三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短；
（2）作线段MN=2，过M作MN的垂线段MA，使MA=1，过N作MN的垂线段NB，使NB=2，且A，B在MN异侧，那么m表示线段MN上任意一点到A的距离与这一点到B的距离之和，根据两点之间线段最短可知，这一点在直线AB上时，距离最小．根据勾股定理即可求出m的最小值；
（3）作一个长方形ABCD，设AB=2b，AD=2a，取AB中点E，AD中点F，连接EF，FC，CE，得△EFC，则

a2+b2

、

a2+4b2

、

4a2+b2

是这个三角形的三条边，根据S_△CEF=S_{长方形ABCD}-S_△AEF-S_△CDF-S_△CEB即可求解．

解答：解：（1）作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下：
在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E，
∵A、A′关于直线l对称，
∴AP=A′P，
同理AE=A′E，
∵AP+BP=A′P+BP=A′B，
AE+BE=A′E+BE＞A′B，
∴AP+BP＜A′E+BE，
∵E是任意取的一点，
∴AP+BP最短；

（2）作线段MN=2，过M作MN的垂线段MA，使MA=1，过N作MN的垂线段NB，使NB=2，且A，B在MN异侧，
那么m表示线段MN上任意一点到A的距离与这一点到B的距离之和，
根据两点之间线段最短可知，这一点在直线AB上时，距离最小．
连接AB，交MN于P，则此时m的最小值为线段AB的长．
过B作AM的垂线，交AM的延长线于点C．
在Rt△ABC中，∵AC=1+2=3，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=

13

．
故m的最小值为

13

；

（3）作一个长方形ABCD，设AB=2b，AD=2a，取AB中点E，AD中点F，连接EF，FC，CE，得△EFC，
则

a2+b2

、

a2+4b2

、

4a2+b2

是这个三角形的三条边，
S_△CEF=S_{长方形ABCD}-S_△AEF-S_△CDF-S_△CEB
=2a•2b-

1

2

•a•b-

1

2

•a•2b-

1

2

•2a•b
=4ab-

1

2

ab-ab-ab
=

3

2

ab．

点评：本题主要考查轴对称-最短路线问题在实际中的应用，能画出符合要求的图形是解题的关键．