题目内容

(2013•白下区一模)问题:如图,要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面,可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2,其中O1、O2分别是AD、BC上的点,半圆O1分别与AB、BD 相切,半圆O2分别与CD、BD相切.若AB=am,BC=bm,求最终拼接成的圆形桌面的半径(用含a、b的代数式表示).
(1)请解决该问题;
(2)①下面方框中是小明简要的解答过程:

解得x=
a2+b2
4b

所以最终拼接成的圆形桌面的半径为
a2+b2
4b
m.
老师说:“小明的解答是错误的!”请指出小明错误的原因.
②要使①中小明解得的答案是正确的,a、b需要满足什么数量关系?
分析:(1)设半圆O2与BD 的切点为E,连接O2E,则O2E⊥BD,根据∠C=90°,得出O2E=O2C,DC=DE=a,最后根据O2B2=BE2+O2E2,得出(b-EO22=(
a2+b2
-a)2+O2E2,求出EO2即可,
(2)①小明的错误是“O1O2=2x”,②要使小明解得的答案是正确的,就要半圆O1与半圆O2外切即可
解答:解:(1)如图,设半圆O2与BD 的切点为E,连接O2E,则O2E⊥BD,
∵半圆O2与CD 相切,且∠C=90°,
∴O2E=O2C,DC=DE=a.
在Rt△BEO2中,O2B2=BE2+O2E2
∴(b-EO22=(
a2+b2
-a)2+O2E2
解得EO2=
a
a2+b2
-a2
b

∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=
a
a2+b2
-a2
b
m;

(2)①小明的错误是半圆O1与半圆O2不能保证外切,即“O1O2=2x”是错误的,
②要使小明解得的答案是正确的,就要半圆O1与半圆O2外切.
此时半圆O1与BD 的切点、半圆O2与BD的切点以及O1O2与BD的交点重合.
所以
a2+b2
-a=a,
解得b=
3
a.
点评:此题考查了圆的综合,用到的知识点是切线长定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是综合应用有关性质列出关于半径的方程.
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