Question

课题研究
（1）如图（1），我们已经学习了直角三角形中的边角关系，在Rt△ACD中，sin∠A=

 

，所以CD=

 

，而S_△ABC=

1

2

AB•CD，于是可将三角形面积公式变形，得S_△ABC=

 

．①其文字语言表述为：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．这就是我们将要在高中学习的正弦定理．
（2）如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得

1

2

AC•BC•sin(α+β)=

1

2

AC•CD•sinα+

1

2

BC•CD•sinβ，即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，将得到新的结论．并写出解决过程．
（3）利用（2）中的结论，试求sin75°和sin105°的值，并比较其大．

Answer 1

分析：（1）根据锐角三角函数的概念进行填空即可；
（2）结合等式的性质和锐角三角函数的概念进行转换；
（3）利用（2）中的结论，把75°和105°拆分成特殊角即可计算．

解答：解．（1）

CD

AC

，ACsinA，S△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠A；

（2）把AC•BC•sin(a+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ
两边同除以AC•BC，得
sin(α+β)=

CD

BC

•sinα+

CD

AC

•sinβ
在Rt△BCD和Rt△ACD中分别可得：
cosα=

CD

AC

，cosβ=

CD

BC

，
∴sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；

（3）sin75°=sin(30°+45°)=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 + 6

4

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°•cos45°+cos60°•sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 + 6

4

由此可见：sin75°=sin105°．

点评：掌握锐角三角函数的概念，熟记特殊角的锐角三角函数值．