题目内容

如图:在ABCD中,对角线与BD交于点O,过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F, EF⊥AC,连结AF、CE.  

(1)求证:OE=OF
(2)请判断四边形AECF是什么特殊四边形,请证明你的结论;
(3)若∠EAF=60°,AE=6,求四边形AECF的面积.
(1)见解析(2)菱形,证明见解析(3)
(1)证明:在ABCD中,对角线与BD交于点O,得
AE∥CF, OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴∠OAE=∠OCF
∴△AOE≌△COF (ASA)
∴ OE=OF--------------3分
(2)四边形AECF是菱形。理由如下:
∵OE=OF,OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形。(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
又 ∵EF⊥AC
。(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)-----3分
(3)在菱形AECF中,EF⊥AC,∠EAF=60°,AE=6
∴ ∠EAC=30°(菱形的对角线平分每组对角) ,∠AOE=90°
∴ OE=(直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)
在Rt△AOE中,由勾股定理,得AO==----2分
∴EF=2OE=6,AC=2AO=
菱形AECF==----2分
(1)在平行四边形,可得一组内错角,一组对顶角分别相等,又有一边相等,则证明△AOE≌△COF即可.
(2)证明AECF是平行四边形,然后于EF⊥AC得出AECF是菱形;
(3)先求出AE、AO的长,从而得出EF、AC的长,最后求出菱形AECF的面积。
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