Question

【题目】如图，已知抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线BC的解析式；

（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）N坐标（5，2）或（2，﹣1）或（－3，14）．

【解析】

试题分析：（1）把点A坐标代入抛物线解析式，即可求得抛物线的解析式；

（2）先求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为，然后把B、C两点坐标代入直线BC的解析式，求得k和b即可；

（3）设N（x，），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．

试题解析：（1）∵点A（1，0）在抛物线（）上，∴，∴，∴抛物线的解析式为：；

（2）抛物线的对称轴为直线，∴点B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为，∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为，得：，解得：，∴直线BC的解析式；

（3）设N（x，），分三种情况讨论：

①当△OBC∽△HNB时，如图1，，即，解得，（不合题意，舍去），∴点N坐标（5，2）；

②当△OBC∽△HBN时，如图2，，即，解得，（不合题意舍去），∴点N坐标（2，﹣1）；

③当N（x，）在第二象限时，H（x，0）在x轴负半轴上，∴BH=，∵△OBC∽△HNB，∴，即，得到：，解得，（不合题意，舍去），∴点N坐标（－3，14）；

综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）或（－3，14）．