题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线经过A(﹣4,0),B(0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长度为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.
【答案】(1);(2)d==5+t;(3)F(,).
【解析】(1)把A(﹣4,0),B(0,4)代入得:,解得:,所以抛物线解析式为;
(2)如图1,分别过P、F向y轴作垂线,垂足分别为A′、B′,过P作PN⊥x轴,垂足为N,由直线DE的解析式为:y=x+5,则E(0,5),∴OE=5,∵∠PEO+∠OEF=90°,∠PEO+∠EPA′=90°,∴∠EPA′=∠OEF,∵PE=EF,∠EA′P=∠EB′F=90°,∴△PEA′≌△EFB′,∴PA′=EB′=﹣t,则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣(﹣t)=5+t;
(3)如图2,由直线DE的解析式为:y=x+5,∵EH⊥ED,∴直线EH的解析式为:y=﹣x+5,∴FB′=A′E=5﹣()=,∴F(,5+t),∴点H的横坐标为:,y==,∴H(,),∵G是DH的中点,∴G(,),∴G(,),∴PH∥x轴,∵DG=GH,∴PG=GQ,∴,t=,∵P在第二象限,∴t<0,∴t=,∴F(,).
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