题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线经过A(﹣4,0),B(0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FMx轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长度为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);

(3)在(2)的条件下,过点E作EHED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.

【答案】(1);(2)d==5+t;(3)F().

【解析】(1)把A(﹣4,0),B(0,4)代入,解得,所以抛物线解析式为

(2)如图1,分别过P、F向y轴作垂线,垂足分别为A′、B′,过P作PNx轴,垂足为N,由直线DE的解析式为:y=x+5,则E(0,5),OE=5,∵∠PEO+OEF=90°,PEO+EPA′=90°,∴∠EPA′=OEF,PE=EF,EA′P=EB′F=90°,∴△PEA′≌△EFB′,PA′=EB′=﹣t,则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣(﹣t)=5+t;

(3)如图2,由直线DE的解析式为:y=x+5,EHED,直线EH的解析式为:y=﹣x+5,FB′=A′E=5﹣()=F(,5+t),点H的横坐标为:,y==H(),G是DH的中点,G(),G(),PHx轴,DG=GH,PG=GQ,,t=P在第二象限,t0,t=F().

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