题目内容

如图,在边长为4的正方形中,点上从运动,连接

于点

⑴试证明:无论点运动到上何处时,都有△≌△

⑵当点上运动到什么位置时,△的面积是正方形面积的

⑶若点从点运动到点,再继续在上运动到点,在整个运动过程中,当点 运动到什么位置时,△恰为等腰三角形.

 

【答案】

⑴证明:在正方形中,无论点运动到上何处时,都有

=  ∠=∠  =  ∴△≌△

⑵△的面积恰好是正方形ABCD面积的时,

过点Q作,

 =

==            ∴= 

由△ ∽△得        解得

时,△的面积是正方形面积的

⑶若△是等腰三角形,则有 ===

①当点运动到与点重合时,由四边形是正方形知  =

此时△是等腰三角形

②当点与点重合时,点与点也重合,此时=, △是等腰三角形

③:如图,

设点边上运动到时,有=

       ∴∠=∠

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠   ∴ ==

=    =  =4   ∴

即当时,△是等腰三角形.

【解析】(1)两边一角 AQ=AQ ,AB=AD=4,∠DAQ=∠BAQ=45度 所以两个三角形全等。

(2)做QE垂直于AD, △DQE相似于△DPA ,△ADQ面积=ADQE/2,正方形面积=ADAB,△ ADQ的面积是正方形面积的1/6, 则QE=AB/3=4/3,△AQE是等腰直角三角形,则AQ=QE=4/3,DQ=AD-AQ=8/3, △DQE相似△DPA中, DQ/AD=QE/AP,带入数据得:8/3 /4= 4/3 /AP,故AP=2,因为AB=4 则P点正好运动到AB的中点

(3)假设△ADQ恰好为等腰三角形::P在 ABC上运动 首先当AD=QD=4时 Q与C点刚好重合 所以P运动到C点 △ADQ为等腰三角形;当P运动到B点时,AQ=QD △ADQ为等腰直角三角形;当AD=AQ=4时,△ADQ与△CPQ相似,则PC=CQ=AC-AQ= -4,则P运动到距离C点 -4时,△ADQ为等腰三角形

 

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