题目内容

【题目】在等边△ABC中;
(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;

(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.

①依题意将图2补全;②小明通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM,小明把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:要证PA=PM,只需证△APM是等边三角形.
想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证△ANP≌△PCM.……
请你参考上面的想法,帮助小明证明PA=PM(一种方法即可).

【答案】
(1)解:∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,

又∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,

∵∠BAP=20°,∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°


(2)解:①如图.

利用想法1证明:∵AP=AQ,

∴∠APQ=∠AQP,

∴∠APB=∠AQC,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠B=∠C=60°,

∴∠BAP=∠CAQ,

∵点Q关于直线AC的对称点为M,

∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,

∴∠MAC=∠BAP,

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,

∴∠PAM=60°,

∵AP=AQ,

∴AP=AM,

∴△APM是等边三角形,

∴AP=PM.

②利用想法2证明:在AB上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,

∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,BA=BC=AC,

∴△BPN是等边三角形,AN=PC,BP=NP,∠BNP=60°,

∴∠ANP=120°,由轴对称知CM=CQ,∠ACM=∠ACB=60°,

∴∠PCM=120°,由(1)知,∠APB=∠AQC,∴△ABP≌△ACQ(AAS).

∴BP=CQ,∴NP=CM,∴△ANP≌△PCM(SAS),∴AP=PM.


【解析】(1)根据等边对等角得出:∠APQ=∠AQP,根据等边三角形的性质,及三角形的外角定理得出:∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80° ;
(2)①如图.根据等边对等角及邻补角的定义得出∠APB=∠AQC ,根据等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°,根据三角形的内角和得出∠BAP=∠CAQ,根据轴对称的性质得出AQ=AM,∠QAC=∠MAC,根据等量代换得出∠MAC=∠BAP ,根据等式的性质得出∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60° ,即∠PAM=60°,又AQ=AM ,AP=AQ,故AP=AM,根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形得出△APM是等边三角形,从而得出结论:AP=PM;②利用想法2证明:在AB上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,根据等边三角形的性质得出∠B=∠ACB=60°,BA=BC=AC,进一步得出△BPN是等边三角形,AN=PC,BP=NP,∠BNP=60°,根据领补角的定义得出∠ANP=120°,由对称的知识得出CM=CQ,∠ACM=∠ACB=60°,从而判断出∴△ABP≌△ACQ ,根据全等三角形的性质得出BP=CQ ,进而根据等量代换得出NP=CM,从而判断出△ANP≌△PCM ,根据全等三角形的性质得出AP=PM.

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