题目内容
【题目】如图1,点、分别是边长为的等边边、上的动点,点从点向点运动,点从点向点运动,它们同时出发,且它们的速度都为,运动的时间为.
(1)当时,求的度数;
(2)当为何值时,是直角三角形?
(3)如图2,若点、在运动到终点后继续在射线、上运动,直线、交点为,则变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
【答案】(1)(2)或(3)不变;
【解析】
(1)利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA,则可求得∠BAQ=∠ACP,再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°;
(2)可用t分别表示出BP和BQ,分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°两种情况,分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程,则可求得t的值;
(3)同(1)可证得△PBC≌△QCA,再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ=120°.
(1)∵在等边三角形中,,
又由条件得,
∴,
∴,
∴.
(2)由题可知:,
①当时,
∵,
∴
∴,
得,;
②当时,
∵,
∴
∴,得,;
∴当第秒或第秒时,为直角三角形.
(3)不变.
∵在等边三角形中,,,
∴,
又AP=BQ,
∴,
∴,
∴
又∵,
∴
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