Question

如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x²+17）cm，正六边形的边长为（x²+2x）cm（其中x＞0）．求正六边形的面积．

Answer 1

分析：根据正五边形和正六边形的周长相等，列一元二次方程求x的值，得出正六边形的边长，再根据所求边长求正六边形的面积．

解答：解：由已知得，正五边形周长为5（x²+17）cm，正六边形周长为6（x²+2x）cm，
∵正五边形和正六边形的周长相等，
∴5（x²+17）=6（x²+2x），
整理得x²+12x-85=0，配方得（x+6）²=121，
解得x₁=5，x₂=-17（舍去），
故正六边形的面积为6×

3

4

×5²=

75 3

2

（cm²）．
答：正六边形的面积为

75 3

2

cm²．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，正多边形和圆的知识．关键是根据题意找出等量关系列一元二次方程求x的值，从而确定正六边形的边长．