Question

【题目】如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，

又AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∴∠DBE=∠ADB，

∴DF=BF，

∴△BDF是等腰三角形；

（2）

解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴FD∥BG，

又∵FD∥BG，

∴四边形BFDG是平行四边形，

∵DF=BF，

∴四边形BFDG是菱形；

②∵AB=6，AD=8，

∴BD=10．

∴OB= BD=5．

假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．

∴在直角△ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，

解得x= ，

即BF= ，

∴FO= = = ，

∴FG=2FO= ．

【解析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的性质和矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．