Question

如图，△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥BC，O是AD上一点．
（1）若⊙O是△ABC的内切圆，且半径为

3

，则AB=

 

；
（2）若以AD为直径的⊙O恰与BC边相切，⊙O交AB于E，交AC于F．过O点的直线MN分别交线段BE和CF于M，N，且AM：MB=3：5，则AN：NC的值为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,切线的性质

专题：

分析：（1）首先设AD=x，则可求得AB，AC与BC的长，然后由⊙O是△ABC的内切圆，且半径为

3

，可得S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

（AB+AC+BC）•

3

，则可得方程：

1

2

×2

3

x•x=

1

2

×（2x+2x+2

3

x）×

3

，解此方程即可求得答案；
（2）首先连接OE，OF，然后设AB=y，易得AE=AF，△AOE，△AOF是等边三角新，然后用y表示出AN与CN的长，即可求得答案．

解答：解：（1）设AD=x，
∵∠B=∠C=30°，AD⊥BC，
∴AB=AC=2AD=2x，
∴BD=

AB2-AD2

=

3

x，
∴BC=2BD=2

3

x，
∵⊙O是△ABC的内切圆，且半径为

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

（AB+AC+BC）•

3

，
∴

1

2

×2

3

x•x=

1

2

×（2x+2x+2

3

x）×

3

，
解得：x=2+

3

，
∴AB=2x=4+2

3

；

（2）连接OE，OF，
∵AB=AC，
∵AD⊥BC，
∵∠BAD=∠CAD=60°，
∵OA=OE=OF，
∴△AOE与△AOF是等边三角形，
∴AE=AF=OA，
设AB=y，
∴AD=

1

2

y，
∴AE=OE=AF=OF=

1

4

y．
∵∠BAD=∠AOF=60°，
∴OF∥AB，
∴NF：NA=OF：AM，
∵AM：MB=3：5，
∴AM=

3y

3+5

=

3y

8

．
∴OF：AM=

y

4

：

3y

8

=2：3．
∴NF：（AF+NF）=2：3，
∴NF：AF=2：1，
∴NA=AF+FN=3AF=

3y

4

，
∴NC=AC-AN=

y

4

，
∴AN：NC=3：1．
故答案为：（1）4+2

3

，（2）3：1．

点评：此题考查了三角形内切圆的性质、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意

1

2

（内切圆的半径×三角形周长）=三角形的面积．