Question

如图，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径作⊙P，C是⊙P上一点，过点C的直线y=

3

3

x+2

3

与x轴、y轴分别相交于点D、点E，连接AC并延长与y轴相交于点B，点B的坐标为（0，4

3

）．
（1）求证：OE=CE；
（2）请判断直线CD与⊙P位置关系，证明你的结论，并请求出⊙P的半径长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，利用已知条件计算出CE和OB的长度，再证明△BCO为直角三角形，利用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明OE=CE；
（2）①直线CD是⊙P的切线，证明PC⊥CD．②设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理得到关于r的方程，求出r即可．

解答：解：（1）证明：连接OC，
∵直线y=

3

3

x+2

3

与y轴相交于点E，
∴点E的坐标为（0，2

3

），即OE=2

3

．
又∵点B的坐标为（0，4

3

），
∴OB=4

3

，
∴BE=OE=2

3

，
又∵OA是⊙P的直径，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AB，
∴OE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

（2）直线CD是⊙P的切线．
①证明：连接PC、PE，由①可知：OE=CE．
在△POE和△PCE，

PO=PC PE=PE OE=CE

，
∴△POE≌△PCE，
∴∠POE=∠PCE．
又∵x轴⊥y轴，
∴∠POE=∠PCE=90°，
∴PC⊥CE，即：PC⊥CD．
又∵直线CD经过半径PC的外端点C，
∴直线CD是⊙P的切线；
②∵对y=

3

3

x+2

3

，当y=0时，x=-6，即OD=6，
在Rt△DOE中，DE=

OD2+OE2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
∴CD=DE+EC=DE+OE=4

3

+2

3

=6

3

．
设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理知PC²+CD²=PD²，
即 r²+（6

3

）²=（6+r）²，
解得 r=6，即⊙P的半径长为6．

点评：本题综合考查了切线的性质、判定定理、勾股定理以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，具有较强的综合性，有一定的难度．