Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3) 代入抛物线y＝ax2+bx+c中， 得：，解得： ∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3； （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P； 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B(3，0)，C(0，3)代入上式， 得：，解得： ∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3； 当x=1时，y＝2，即P的坐标(1，2)； （3）抛物线的解析式为：x＝﹣＝1， 设M(1，m)，已知A(﹣1，0)、C(0，3)， 则：MA2＝m2+4，MC2＝m2﹣6m+10，AC2＝10； ①若MA＝MC，则MA2＝MC2， 得：m2+4＝m2﹣6m+10， 得：m＝1； ②若MA＝AC，则MA2＝AC2， 得：m2+4＝10，得：m＝±； ③若MC＝AC，则MC2＝AC2， 得：m2﹣6m+10＝10， 得：m＝0，m＝6； 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形， 不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的M点存在， 且坐标为 M(1，)(1，﹣)(1，1)(1，0)．