题目内容
(2012•河北)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长在(单位:cm)在5~50之间.每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)有基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的.浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润为26元(利润=出厂价-成本价),
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式.
②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大?最大利润是多少?
参考公式:抛物线:y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-
,
)
薄板的边长(cm) | 20 | 30 |
出厂价(元/张) | 50 | 70 |
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润为26元(利润=出厂价-成本价),
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式.
②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大?最大利润是多少?
参考公式:抛物线:y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-
b |
2a |
4ac-b2 |
4a |
分析:(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案;
(2)①首先假设一张薄板的利润为p元,它的成本价为mx2元,由题意,得:p=y-mx2,进而得出m的值,求出函数解析式即可;
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可.
(2)①首先假设一张薄板的利润为p元,它的成本价为mx2元,由题意,得:p=y-mx2,进而得出m的值,求出函数解析式即可;
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可.
解答:解:(1)设一张薄板的边长为xcm,它的出厂价为y元,基础价为n元,浮动价为kx元,则y=kx+n.
由表格中的数据,得
,
解得
,
所以y=2x+10;
(2)①设一张薄板的利润为p元,它的成本价为mx2元,由题意,得:
p=y-mx2=2x+10-mx2,
将x=40,p=26代入p=2x+10-mx2中,
得26=2×40+10-m×402.
解得m=
.
所以p=-
x2+2x+10.
②因为a=-
<0,所以,当x=-
=-
=25(在5~50之间)时,
p最大值=
=
=35.
即出厂一张边长为25cm的薄板,获得的利润最大,最大利润是35元.
由表格中的数据,得
|
解得
|
所以y=2x+10;
(2)①设一张薄板的利润为p元,它的成本价为mx2元,由题意,得:
p=y-mx2=2x+10-mx2,
将x=40,p=26代入p=2x+10-mx2中,
得26=2×40+10-m×402.
解得m=
1 |
25 |
所以p=-
1 |
25 |
②因为a=-
1 |
25 |
b |
2a |
2 | ||
2×(-
|
p最大值=
4ac-b2 |
4a |
4×(-
| ||
4×(-
|
即出厂一张边长为25cm的薄板,获得的利润最大,最大利润是35元.
点评:本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式,求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法.
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