题目内容
设a1=32-12,a2=52-32,…,an=(2n+1)2-(2n-1)2(n为大于0的自然数).(1)探究an是否为8的倍数,并用文字表述出你所获得的结论;
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”,例如:1,4,9,16,…,是“完全平方数”.试写出a1,a2,a3,…,an,这一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”.
分析:(1)将an的表达式根据平方差公式计算出来,看是否是8的倍数.
(2)
=
=2
,根据该式依次列出所需的完全平方数即可.
(2)
an |
8n |
2n |
解答:解:(1)根据平方差公式计算an=(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)=8n,
故an是8的倍数.
(2)设a=2b(b为大于0的自然数)
则
=
=2
,所以当n分别取2、8、18、32时得到一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”.
n=2时,an=16,
n=8时,an=64,
n=18时,an=144,
n=32时,an=256,
所以列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”为16、64、144、256.
故an是8的倍数.
(2)设a=2b(b为大于0的自然数)
则
an |
8n |
2n |
n=2时,an=16,
n=8时,an=64,
n=18时,an=144,
n=32时,an=256,
所以列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”为16、64、144、256.
点评:本题主要考查平方差公式的应用,读懂题目信息是解题的关键.
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