Question

设a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²…
（1）写出a_n（n为大于0的自然数）的表达式；
（2）探究a_n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（3）若一个数的算术平方根是一个自然数，则这个数是“完全平方数”，试找出a₁，a₂，a₃，…，a_n这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数；并说出当n满足什么条件时，a_n为完全平方数（不必说明理由）．

Answer 1

分析：（1）首先观察a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²，即可求得a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）利用平方差公式即可求得a_n=8n，即第n个数a_n的值是n的8倍；
（3）根据从小到大排列的前4个完全平方数是16，64，144，256，得出n为一个完全平方数的2倍时，a_n为完全平方数．

解答：解：（1）a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=8n，n为非零的自然数
∴a_n是8的倍数；
文字语言：两个连续奇数的平方差是8的倍数；
（3）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数是16，64，144，256；
n为一个完全平方数的2倍时，a_n为完全平方数．

点评：此题考查了数字的规律性问题，解题的关键是找到规律：a_n=（2n+1）²-（2n-1）²．